📖 大学物理（上）完整复习教案
——2025级大学物理I/III · 4学分 · 从零基础到通过考试
0️⃣ 考试概况与复习策略
📋 考试结构
| 题型 | 分值 | 范围 |
|---|
| 计算题 ×4 | 40分（每题10分） | 刚体力学 / 振动波动 / 光栅衍射 / 热力学第一定律 |
| 选择+填空 | 60分 | 四大模块全部内容 |
🎯 复习策略： 计算题每题10分，四个知识点"一定"各考一题。做好计算题等于"及格"了一大半！建议先攻克计算题考点，然后再补选择填空题的知识点。
不考的内容：非惯性系、回转运动、阻尼振动/受迫振动/共振、机械波的能量、圆孔衍射、迈克尔孙干涉仪、晶体衍射、双折射、气体分子平均自由程。
第一部分：力学（质点 → 刚体）
📌 力学知识框架
运动学（描述运动）→ 动力学（力的效果）→ 功和能（能量视角）→ 刚体转动（核心计算题）
不考：非惯性系、回转运动
1.1 质点运动学 ——「描述物体怎么动」
🔑 四个基本物理量
| 物理量 | 定义 | 方向 |
|---|
| 位矢 \(\vec{r}\) | 从参考点指向质点位置的矢量 | — |
| 位移 \(\Delta\vec{r}\) | 末位矢 − 初位矢（不取决于路径！） | 起点→终点 |
| 速度 \(\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt}\) | 位矢的时间变化率 | 轨迹切线方向 |
| 加速度 \(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\) | 速度的时间变化率 | 速度变化方向 |
📐 圆周运动（重要！）
圆周运动有两个加速度分量：
切向加速度 \(a_\tau = \frac{dv}{dt} = r\alpha\)（改变速度大小）
法向加速度 \(a_n = \frac{v^2}{r} = r\omega^2\)（改变速度方向）
角量与线量关系：\(s = r\theta,\; v = r\omega,\; a_\tau = r\alpha,\; a_n = r\omega^2\)
常考题型：区分四个选项——dv/dt是切向加速度(aτ)，|dv/dt|是加速度的大小，dr/dt是径向速度，ds/dt是速率(标量)。
1.2 牛顿定律与动量
🔑 核心公式
牛顿第二定律：\(\vec{F} = m\vec{a}\)（或分量式：\(F_x=ma_x,\;F_y=ma_y\)）
动量：\(\vec{p} = m\vec{v}\)
动量定理：\(\int \vec{F}dt = \vec{p}_2 - \vec{p}_1\)（冲量 = 动量变化）
动量守恒：合外力为零时，\(\sum \vec{p} = \text{常量}\)
⚠️ 动量守恒 vs 角动量守恒（最容易混淆！）
碰撞问题关键判断：小球撞击悬挂的细杆时——
❌ 动量一般不守恒：因为转轴对杆有巨大的冲击力（外力！）
✅ 对轴O的角动量守恒：因为轴的反作用力通过O点，力矩为零！
解题步骤：①选隔离体 → ②分析受力 → ③列F=ma（平动部分）+ M=Jα（转动部分）→ ④用线量=角量关系(a=rα)联立求解。
1.3 功与能
🔑 核心公式
功：\(A = \int \vec{F}\cdot d\vec{r} = \int F_xdx + F_ydy + F_zdz\)
动能定理：\(A_{\text{合}} = \frac{1}{2}mv_2^2 - \frac{1}{2}mv_1^2\)
保守力做功 = −势能增量：\(A_{\text{保}} = -(E_{p2} - E_{p1})\)
机械能守恒：只有保守力做功时，\(E_k + E_p = \text{常量}\)
三种常见势能
| 类型 | 公式 |
|---|
| 重力势能 | \(E_p = mgh\)（零势面任意取） |
| 弹性势能 | \(E_p = \frac{1}{2}kx^2\)（原长为零点） |
| 万有引力势能 | \(E_p = -\frac{GMm}{r}\)（无穷远为零） |
变力做功是常考题型：给你 \(F=(5+5x)\)，求从0→10m做的功，直接用积分 \(A=\int_0^{10}(5+5x)dx=[5x+2.5x^2]_0^{10}=300J\)。
1.4 刚体定轴转动 ⭐计算题！10分
🔑 平动 ↔ 转动 类比（最重要的一张表！）
位移 \(x\)
速度 \(v = dx/dt\)
加速度 \(a = dv/dt\)
质量 \(m\)
力 \(F\)
牛顿第二定律 \(F=ma\)
动量 \(p=mv\)
动量定理 \(\int Fdt = \Delta p\)
动能 \(\frac{1}{2}mv^2\)
功 \(A=\int Fdx\)
角位移 \(\theta\)
角速度 \(\omega = d\theta/dt\)
角加速度 \(\alpha = d\omega/dt\)
转动惯量 \(J\)
力矩 \(M\)
转动定律 \(M=J\alpha\)
角动量 \(L=J\omega\)
角动量定理 \(\int Mdt = \Delta L\)
转动动能 \(\frac{1}{2}J\omega^2\)
功 \(A=\int M d\theta\)
🔩 力矩
\(\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}\)，大小：\(M = rF\sin\theta\)
方向：右手螺旋法则（四指从r弯向F，拇指方向）
🎡 转动惯量 J（考试会给，但常见的最好记住）
| 形状 | 转轴 | J = ? |
|---|
| 质点 | 距轴r | \(mr^2\) |
| 均质圆盘/圆柱 | 过中心⊥盘面 | \(\frac{1}{2}mR^2\) |
| 均质圆环 | 过中心⊥环面 | \(mR^2\) |
| 均质细杆 | 过中心⊥杆 | \(\frac{1}{12}ml^2\) |
| 均质细杆 | 过端点⊥杆 | \(\frac{1}{3}ml^2\) |
| 均质实心球 | 过球心 | \(\frac{2}{5}mR^2\) |
平行轴定理：\(J = J_C + md^2\)（绕任意轴 = 绕过质心平行轴 + m×距离²）
📐 四大核心定律（刚体部分）
① 转动定律：\(M = J\alpha\)
② 转动动能定理：\(\int_{\theta_1}^{\theta_2} M d\theta = \frac{1}{2}J\omega_2^2 - \frac{1}{2}J\omega_1^2\)
③ 角动量定理：\(\int M dt = J\omega_2 - J\omega_1\)
④ 角动量守恒：当 \(M_{\text{外}} = 0\) 时，\(J\omega = \text{恒量}\)
📝 经典计算题模型（滑轮+物体联动）
【模型】轻绳跨过定滑轮（质量m，半径R，视为均质圆盘 \(J=\frac{1}{2}mR^2\)），两端挂物体A和B。
- 分别对A、B列牛顿第二定律：\(T_A = m_A a\)，\(m_B g - T_B = m_B a\)
- 对滑轮列转动定律：\(T_B R - T_A R = J\alpha = \frac{1}{2}mR^2 \cdot \alpha\)
- 关联方程：\(a = \alpha R\)（绳与滑轮无滑动）
- 联立解得加速度 a
老师PPT中的例子：\(a = \frac{2}{5}g = 4\text{m/s}^2\)
⚠️ 角动量守恒的典型场景：花样滑冰运动员收臂（J↓→ω↑）、行星绕日（有心力，对力心角动量守恒）、子弹嵌入杆（碰撞瞬间对轴角动量守恒但动量不守恒！）。
第二部分：振动与波动
2.1 简谐振动 ——「最完美的周期性运动」
🔑 什么是简谐振动？
两个等价的判定条件：
① 动力学条件：回复力 \(F = -kx\)（力与位移正比反向）
② 运动学条件：位移 \(x = A\cos(\omega t + \varphi)\)
振动方程的三个要素
| 参数 | 符号 | 含义 | 由谁决定 |
|---|
| 振幅 | \(A\) | 振动的最大位移 | 初始条件 |
| 圆频率 | \(\omega\) | 振动快慢，\(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\) | 系统本身（弹簧: \(\omega=\sqrt{k/m}\)，单摆: \(\omega=\sqrt{g/l}\)） |
| 初相位 | \(\varphi\) | t=0时的振动状态 | 计时起点 |
速度和加速度
\(x = A\cos(\omega t + \varphi)\)
\(v = \frac{dx}{dt} = -\omega A\sin(\omega t + \varphi)\)（速度比位移超前 \(\pi/2\)）
\(a = \frac{dv}{dt} = -\omega^2 A\cos(\omega t + \varphi) = -\omega^2 x\)（加速度与位移反向）
简谐振动的能量
\(E = E_k + E_p = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}kx^2 = \frac{1}{2}kA^2 = \text{常数}\)
2.2 旋转矢量法 ⭐「最重要的解题工具」
🎯 什么是旋转矢量法？
把简谐振动想象成一个长度为A的矢量以角速度ω绕原点逆时针旋转，矢量在x轴上的投影就是位移。
📐 如何判断初相位 φ？
| t=0时 x₀ | 运动方向 | 旋转矢量象限 | 初相 φ |
|---|
| 正最大 (x₀=A) | — | 在+x轴上 | 0 |
| x₀>0 | 向x负方向 | 第Ⅰ象限 | 0~π/2 |
| 平衡位置 (x₀=0) | 向x负方向 | 在+y轴上 | π/2 |
| x₀<0 | 向x负方向 | 第Ⅱ象限 | π/2~π |
| 负最大 (x₀=−A) | — | 在−x轴上 | π |
| x₀<0 | 向x正方向 | 第Ⅲ象限 | −π~−π/2 |
| 平衡位置 (x₀=0) | 向x正方向 | 在−y轴上 | −π/2（或3π/2） |
| x₀>0 | 向x正方向 | 第Ⅳ象限 | −π/2~0 |
口诀：旋转矢量逆时针转，上半圆向负走，下半圆向正走。求某段运动时间：\(t = \frac{\Delta\varphi}{\omega}\)（相位差除以角频率）。
同方向同频率振动的合成
合振幅：\(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2\cos(\varphi_2 - \varphi_1)}\)
特殊情况：同相(Δφ=2kπ)→A=A₁+A₂最大；反相(Δφ=(2k+1)π)→A=|A₁−A₂|最小
垂直时：Δφ=π/2 → \(A = \sqrt{A_1^2 + A_2^2}\)（老师PPT例题：\(A = \sqrt{0.06^2 + 0.08^2} = 0.1\text{m}\)）
2.3 机械波与波动方程 ⭐计算题！10分
🔑 波的基本概念
| 物理量 | 符号 | 关系 |
|---|
| 波速 | \(u\) | \(u = \lambda / T = \lambda f\) |
| 波长 | \(\lambda\) | 一个完整波形的长度 |
| 周期 | \(T\) | 传播一个波长的时间 |
| 圆频率 | \(\omega\) | \(\omega = 2\pi/T = 2\pi f\) |
| 波数 | \(k\) | \(k = 2\pi/\lambda\) |
📝 波动方程（从振动方程到波动方程）
设原点O的振动方程：\(y_O = A\cos(\omega t + \varphi)\)
则波动方程（向右传播）：\(y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t - \frac{x}{u}\right) + \varphi\right]\)
（向左传播用"+"号）：\(y(x,t) = A\cos\left[\omega\left(t + \frac{x}{u}\right) + \varphi\right]\)
📐 两种推导波动方程的方法
方法一：时间延迟法
- x处质点接收到振动的时间比原点晚 \(x/u\)
- 把原点振动方程中的 t 换成 \((t - x/u)\) 即得波动方程
方法二：相位差法（老师重点推荐！）
\(y = A\cos\left(\omega t \mp 2\pi\frac{x - x_0}{\lambda} + \varphi\right)\)
"+, -"对应"左, 右"（减号→右传，加号→左传）
🔗 相位差与波程差的关系（核心！）
\(\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - 2\pi\frac{r_2 - r_1}{\lambda}\)
波程差 δ = r₂−r₁，相位差 = \(2\pi \times \frac{\delta}{\lambda}\)
2.4 波的干涉与驻波
波的干涉加强/减弱条件
相位差：\(\Delta\varphi = \varphi_2 - \varphi_1 - 2\pi\frac{r_2 - r_1}{\lambda}\)
加强（亮/振幅大）：\(\Delta\varphi = \pm 2k\pi\)（同相）
减弱（暗/振幅小）：\(\Delta\varphi = \pm (2k+1)\pi\)（反相）
反射波与驻波
半波损失：波从波疏介质射向波密介质反射时，反射波有π的相位突变（相当于多走了λ/2）。
固定端反射：有半波损失（反相）
自由端反射：无半波损失（同相）
驻波方程：\(y = 2A\cos(kx)\cos(\omega t)\)（两个反向传播波的叠加）
波腹：\(| \cos(kx) | = 1\) 处
波节：\(\cos(kx) = 0\) 处，相邻波节间距 = λ/2
2.5 多普勒效应
观察者静止，波源运动：\(\nu' = \frac{u}{u \mp v_s}\nu\)（波源靠近→分母减→频率增大）
波源静止，观察者运动：\(\nu' = \frac{u \pm v_o}{u}\nu\)（观察者靠近→分子加→频率增大）
老师PPT例题：波源以30m/s靠近观察者，发出550Hz，声速330m/s → \(\nu' = \frac{330}{330-30} \times 550 = 605\text{Hz}\)
第三部分：光学（干涉 → 衍射 → 偏振）
3.1 光的干涉基础 & 杨氏双缝干涉
💡 干涉三要素
相干条件：频率相同、振动方向相同、相位差恒定
光程与光程差
光程 = 折射率 × 几何路程：光程 = \(n \cdot l\)
光程差 δ：两束光的光程之差
相位差与光程差的关系：\(\Delta\varphi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \delta\)
杨氏双缝干涉
明纹条件：\(\delta = d\sin\theta = \pm k\lambda \quad (k=0,1,2,\dots)\)
暗纹条件：\(\delta = d\sin\theta = \pm (2k+1)\frac{\lambda}{2}\)
条纹间距：\(\Delta x = \frac{D}{d}\lambda\)（D=缝到屏距离，d=双缝间距）
⚠️ 半波损失
光从光疏介质→光密介质反射时，反射光发生半波损失（相当于多走了λ/2的光程）。
简单判断：\(n_1 < n_2 > n_3\)（中间折射率最高）→ 有附加光程差λ/2。
3.2 薄膜干涉
等厚干涉（劈尖 & 牛顿环）
反射光增强条件（有半波损失时）：\(2nd + \frac{\lambda}{2} = k\lambda \quad (k=1,2,3,\dots)\)
反射光减弱条件（有半波损失时）：\(2nd + \frac{\lambda}{2} = (2k+1)\frac{\lambda}{2}\)
最小厚度（增透膜）：\(d_{\min} = \frac{\lambda}{4n}\)
劈尖干涉条纹：相邻条纹对应的厚度差 \(\Delta d = \frac{\lambda}{2n}\)。
条纹弯曲判断：条纹向薄处弯→该处凹陷；条纹向厚处弯→该处凸起。凸起高度 = \(\frac{\lambda}{2n}\)（空气n=1时为λ/2=250nm）。
3.3 单缝衍射
单缝夫琅禾费衍射
暗纹条件：\(a\sin\theta = \pm k\lambda \quad (k=1,2,3,\dots)\)
中央明纹宽度：\(2\theta_0 \approx 2\frac{\lambda}{a}\)（半角宽度 \(\theta_0 = \lambda/a\)）
第k级暗纹距中心距离：\(x_k \approx \theta_k f \approx \frac{k\lambda}{a}f\)（小角度近似：\(\sin\theta \approx \tan\theta \approx \theta\)）
老师PPT例题：λ=500nm, a=0.15mm, f=400mm → 第3级暗纹间距 2x₃ = \(6\lambda f/a = 8\text{mm}\)。由此反推 \(\lambda = x_k \cdot a / (kf) = 0.0005\text{mm} = 500\text{nm}\)。
3.4 光栅衍射 ⭐计算题！10分
🔑 光栅基本概念
光栅常数：\(d = a + b\)（a=透光缝宽度，b=不透光部分宽度）
若1cm刻N条线，则 \(d = \frac{1}{N}\text{cm}\)
📐 三大核心公式
① 光栅方程（主极大条件）：\(d\sin\varphi = \pm k\lambda \quad (k=0,1,2,\dots)\)
② 最高可见级次：\(k_{\max} < \frac{d}{\lambda}\)
③ 缺级公式：\(k = \frac{d}{a}k' \quad (k'=\pm1,\pm2,\pm3,\dots)\)
🔍 缺级是怎么回事？
光栅衍射 = 单缝衍射 × 多缝干涉。当某个角度同时满足：
- 光栅方程 → 本该是亮纹
- 单缝暗纹条件 \(a\sin\varphi = k'\lambda\) → 单缝在该方向光强为零
→ 亮纹被"抹掉"了，这就是缺级！
解题步骤：
- 由 d, a, λ 计算 \(d/a\) 比值
- 缺级的 k 值为 \(k = \frac{d}{a} \times (1, 2, 3, \dots)\)
- 计算最大级次 \(k_{\max} < d/\lambda\)
- 可从0到\(k_{\max}\)中剔除缺级，即为"可见主极大级次"
考题要点：光栅常数计算、缺级判断、可见主极大级次、复色光（白光）入射时的谱线重叠、各级光谱张角。
3.5 光的偏振
🔑 马吕斯定律
\(I = I_0 \cos^2\alpha\)
α = 入射偏振光的振动方向与检偏器透振方向的夹角
老师PPT例题：自然光依次通过两个偏振片（各转45°），\(I = \frac{1}{2}I_0 \cdot \cos^2 45° \cdot \cos^2 45° = \frac{1}{8}I_0\)。
注意：自然光通过第一个偏振片后强度减半！
布儒斯特定律
\(\tan i_0 = \frac{n_2}{n_1}\)
当入射角为起偏角 \(i_0\) 时：反射光为完全偏振光，反射光⊥折射光（\(i_0 + \gamma = 90°\)）
老师PPT例题：\(i_0 = 60°\)，\(n_1 = 1\) → \(n_2 = \tan 60° = \sqrt{3} \approx 1.73\)。验证：\(i_0 + \gamma = 60° + 30° = 90°\)。
第四部分：热学（气体 → 热力学）
4.1 气体动理论
🔑 理想气体状态方程（两形式）
① 摩尔形式：\(pV = \nu RT\)（ν=摩尔数，R=8.31 J/(mol·K)）
② 分子形式：\(p = nkT\)（n=分子数密度，k=1.38×10⁻²³ J/K）
理想气体内能 & 能量均分定理
| 气体类型 | 自由度 i | \(C_V\) | \(C_p\) | γ=Cp/Cv |
|---|
| 单原子 (He, Ar) | 3 | \(\frac{3}{2}R\) | \(\frac{5}{2}R\) | 1.67 |
| 刚性双原子 (H₂, O₂, N₂) | 5 | \(\frac{5}{2}R\) | \(\frac{7}{2}R\) | 1.40 |
| 刚性多原子 (H₂O, CH₄) | 6 | \(3R\) | \(4R\) | 1.33 |
内能公式：\(E = \frac{i}{2}\nu RT = \nu C_V T\)
内能变化：\(\Delta E = \nu C_V \Delta T\)（任何过程，只取决于温度变化！）
迈耶公式：\(C_p = C_V + R\)
三种统计速率
最概然速率：\(v_p = \sqrt{\frac{2kT}{m}} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}\)
平均速率：\(\bar{v} = \sqrt{\frac{8kT}{\pi m}} \approx 1.60\sqrt{\frac{RT}{M}}\)
方均根速率：\(v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}\)
大小关系：\(v_p < \bar{v} < v_{\text{rms}}\)
常考：\(v_{\text{rms}} = \sqrt{3RT/M}\)，温度变为4倍→v_rms变为2倍。同温下：\(v_p(\text{H}_2)/v_p(\text{O}_2) = \sqrt{M(\text{O}_2)/M(\text{H}_2)} = \sqrt{32/2} = 4\)。
4.2 热力学第一定律 ⭐计算题！10分
🔑 热力学第一定律
\(Q = \Delta E + A\)
吸热 Q > 0（系统吸热为正）
对外做功 A > 0（系统对外做正功）
内能增加 ΔE > 0
四种过程的公式总表（必须背！）
| 过程 | 特征 | 做功 A | 吸热 Q | ΔE |
|---|
| 等容 |
V=C |
0 |
\(\nu C_V \Delta T\) |
\(\nu C_V \Delta T\) |
| 等压 |
p=C |
\(p\Delta V\) 或 \(\nu R\Delta T\) |
\(\nu C_p \Delta T\) |
\(\nu C_V \Delta T\) |
| 等温 |
T=C |
\(\nu RT\ln\frac{V_2}{V_1} = \nu RT\ln\frac{p_1}{p_2}\) |
= A |
0 |
| 绝热 |
Q=0 |
\(-\nu C_V \Delta T\) 或 \(\frac{p_1V_1-p_2V_2}{\gamma-1}\) |
0 |
\(\nu C_V \Delta T\) |
绝热过程方程（三个等价形式，用到会给）
\(pV^\gamma = \text{常数}\) \(TV^{\gamma-1} = \text{常数}\) \(p^{\gamma-1}T^{-\gamma} = \text{常数}\)
绝热线比等温线更陡（因为γ>1）。记住：ΔE = νC_V ΔT 对所有过程都适用！
📝 解题流程
- 明确是什么过程（等容/等压/等温/绝热）→ 查表确定特征
- 先算 ΔE = νC_V ΔT（只取决于初末态温度差！）
- 再算 A（等容=0；等压=pΔV；等温=νRTln(V₂/V₁)；绝热=−ΔE）
- 最后 Q = ΔE + A（或直接用对应过程热量公式）
4.3 循环过程与热机效率
循环过程的基本特征
ΔE = 0（循环一圈回到初态）
净功 W = 循环闭合曲线围成的面积（p-V图上！）
净功 = 净吸热：\(W = Q_1 - Q_2\)
热机效率（正循环）
\(\eta = \frac{W}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} = 1 - \frac{Q_2}{Q_1}\)
Q₁ = 一个循环中吸收的总热量 Q₂ = 一个循环中放出的总热量
卡诺循环（两个等温+两个绝热）
卡诺热机效率：\(\eta_C = 1 - \frac{T_2}{T_1}\)（只与高、低温热源温度有关）
制冷系数：\(e = \frac{Q_2}{W} = \frac{Q_2}{Q_1 - Q_2}\) 卡诺：\(e_C = \frac{T_2}{T_1 - T_2}\)
老师PPT例题：p-T图上的卡诺循环，T₁=400K, T₂=300K → η = 1−300/400 = 25%。
⚠️ 注意：p-T图不是p-V图！圈的面积在p-V图上才是净功！
热力学第二定律（定性了解）
克劳修斯表述：热量不能自动从低温物体传到高温物体。
开尔文表述：不可能从单一热源吸热全部转化为功而不产生其他影响。
📋 附录：公式速查卡（考前必背）
力学公式
\(F=ma\) \(p=mv\) \(\int Fdt = \Delta p\) 动量守恒：\(\sum p = C\)
\(A=\int F\cdot dr\) \(\frac{1}{2}mv^2 - \frac{1}{2}mv_0^2 = A\)
\(M=rF\sin\theta\) \(M=J\alpha\) \(J=\sum m_i r_i^2\)
\(L=J\omega\) \(\int Mdt = \Delta L\) 角动量守恒：\(J\omega = C\)
\(a_\tau = r\alpha\) \(a_n = r\omega^2 = v^2/r\)
振动波动公式
\(x=A\cos(\omega t+\varphi)\) \(v=-\omega A\sin(\omega t+\varphi)\) \(a=-\omega^2 x\) \(\omega=\sqrt{k/m}\)
\(y=A\cos[\omega(t\mp x/u)+\varphi]\) \(u=\lambda/T=\lambda f\)
\(\Delta\varphi = 2\pi\delta/\lambda\) 加强：\(\Delta\varphi=\pm 2k\pi\) 减弱：\(\Delta\varphi=\pm(2k+1)\pi\)
多普勒：\(\nu' = \frac{u}{u\mp v_s}\nu\)（波源运动）
光学公式
杨氏双缝：\(\delta = \pm k\lambda\)(明) \(\delta = \pm(2k+1)\lambda/2\)(暗) \(\Delta x = D\lambda/d\)
薄膜（有半波损失）：\(2nd+\lambda/2 = k\lambda\)(增强) \(d_{\min}=\lambda/(4n)\)(增透)
单缝暗纹：\(a\sin\theta = \pm k\lambda\) 中央明纹宽：\(2\lambda/a\)
光栅方程：\(d\sin\varphi = \pm k\lambda\) 缺级：\(k=(d/a)k'\) \(k_{\max}< d/\lambda\)
马吕斯：\(I=I_0\cos^2\alpha\) 布儒斯特：\(\tan i_0 = n_2/n_1\) \(i_0+\gamma=90°\)
热学公式
\(pV=\nu RT\) \(p=nkT\) \(E=\frac{i}{2}\nu RT=\nu C_V T\)
\(Q=\Delta E + A\) \(\Delta E = \nu C_V\Delta T\)（任何过程适用！）
\(C_V=\frac{i}{2}R\) \(C_p=C_V+R\) \(\gamma=C_p/C_V=(i+2)/i\)
等温：\(A=\nu RT\ln(V_2/V_1)\) 绝热：\(pV^\gamma=C\) \(A=-\Delta E\)
热机：\(\eta=1-Q_2/Q_1\) 卡诺：\(\eta_C=1-T_2/T_1\)
\(v_{\text{rms}}=\sqrt{3RT/M}\) \(v_p=\sqrt{2RT/M}\) \(\bar{v}\approx 1.60\sqrt{RT/M}\)
🎓 祝你考试顺利！
复习重点顺序：计算题四道（40分）→ 选择填空高频考点 → 冷门知识点
记住：理解公式背后的物理意义 > 死记硬背 | 多做老师PPT中的例题 | 旋转矢量法是万能工具